Někteří z největších myslitelů chtěli vymezit povahu matematické dedukce za účelem zlepšení svého pochopení teorie „teorémů" v matematice.
Za tímto účelem se pokoušeli kodifikovat myšlenkovou činnost lidské dedukce tak, jak platí pro matematiku.
Domnívali se, že logika a matematika jsou vzájemně provázány a že matematika může být částí logiky, nebo naopak. Mysleli si, že logické deduktivní metody jaké existují v geometrii se dají použít pro matematiku, kde všechny pravdivé formulace systému mohou být odvozeny z báze malého souboru axiomů.
„V průběhu věků činilo axiomatické rozvíjení geometrie na myslitele mocný dojem; jelikož relativně malý počet axiomů nese celou tíhu nevyčerpatelně početných tézí z nich odvoditelných," napsal filosof Dr. Ernest Nagel a matematik Dr. James R. Newman v jejich knize Gödelův teorém. „Mnoha generacím význačných myslitelů připadala axiomatická forma geometrie jako vrcholný model vědeckého poznání."
Avšak byly známy neodmyslitelné paradoxy existující v logice. Různé druhy paradoxů, jako je Russellův paradox, byly také objeveny v teorii množin. Všechny tyto paradoxy mají společné dvě věci: sebe-reference a protiřečení. Jednoduchým a velmi známým paradoxem je paradox lháře, takový jako „Já vždycky lžu." Z takovéhoto výroku vyplývá, že pokud lžu, pak říkám pravdu; a pokud říkám pravdu, potom lžu. Výrok nemůže být ani pravda, ani lež. Nedává to zkrátka smysl. Od objevu paradoxů v teorii množin se matematici domnívali, že by v jiných odvětvích matematiky mohly existovat vážné nedostatky.
Dr. Douglas Hofstadter, profesor kognitivní vědy na Indianské Univerzitě v Bloomintonu, ve své knize Gödel, Escher, Bach: Věčný zlatý pletenec, napsal: „Takovéto záležitosti v základech matematiky byly zodpovědné za vysoký zájem o kodifikování lidských metod dedukce, jež existoval na začátku 20. století. Matematici a filosofové začali mít vážné pochybnosti o tom, zdali dokonce ta nejkonkrétnější z teorií, taková, jako je studie celých čísel (teorie čísel), byla založena na solidních základech. Jestliže se mohly paradoxy tak snadno objevovat v teorii množin - teorii, jejíž základní koncept, ten množinový, je beze vší pochyby velmi intuitivně přitažlivý - nemohly by pak [paradoxy] existovat také v jiných odvětvích matematiky?"
Logikové a matematici se pokoušeli zabývat těmito záležitostmi. Jedna z takovýchto nejproslulejších snah byla vedena Alfredem Northem Whiteheadem a Bertrandem Russelem v jejich mamutí práci Principia Mathematica. Uvědomili si, že všechny paradoxy zahrnují sebe-referenci a protiřečení, a navrhli hierarchický systém, který zamezí, aby se oba případy objevily. Principia Mathematica měla v základě dva cíle: poskytnout kompletní formální metody odvozování všeho v matematice z určitého množství axiomů a být důsledně bez paradoxů.
V té době bylo nejasné, zda Russel a Whitehead doopravdy dosáhnou svých cílů, či nikoliv. V sázce bylo mnohé. Naprostý základ logiky a matematiky se zdál být na nejistém základu. A do ohromné snahy práci Russella a Whiteheada ověřit se zapojili vedoucí matematici celého světa.
Hofstadter napsal v Gödel, Escher, Bach: „[Německý matematik Dr. David Hilbert] vznesl před světovou komunitu matematiků (a metamatematiků) tuto námitku: rigorózně demonstrovat - třeba následováním přesně těch metod navržených Russellem a Whiteheadem - že systém definovaný v Principia Mathematica byl jak bezesporný (prostý protiřečení), tak i úplný (to jest každé pravdivé tvrzení teorie čísel by mohlo být odvozeno uvnitř rámce navrženého v [Principia Mathematica])."
Gödelův teorém neúplnosti
V roce 1931 byla naděje vložená do tohoto velikánského úsilí zničena rakouským matematikem a logikem Dr. Kurtem Gödelem s publikací jeho spisů O metodicky nerozhodnutelných tvrzeních Principů matematiky a spřízněných systémů. Gödel demonstroval neodmyslitelnou hranici nejen v Principia Mathematica, ale také v jakémkoliv myslitelném axiomatickém formálním systému, který usiluje o modelování síly aritmetiky. Aritmetika, teorie celých čísel, jako například sčítání a odečítání, je nejzákladnější a nejstarší část matematiky, která, jak víme, má veliký praktický význam.
Gödel dokázal, že takový axiomatický formální sytém, který usiluje o modelování aritmetiky, nemůže být jak úplný, tak bezesporný zároveň. Tento důkaz je znám jako Gödelův teorém neúplnosti. V takovém formálním systému byly jen dvě možnosti:
-
Pokud je formální systém úplný, pak nemůže být bezesporný. A takový systém bude obsahovat protiřečení analogické paradoxu lháře.
-
Pokud je formální sytém bezesporný, pak nemůže být úplný. A takový systém nemůže dokazovat všechny pravdivosti systému.
Pro velmi jednoduché formální systémy hranice neexistují. Ironicky se dá říct, že jakmile se stane formální systém více mocným, přinejmenším tak dost mocným k modelování aritmetiky, omezení Gödelova teorému neúplnosti se stane nevyhnutelným.
Někteří vědci říkají, že Gödelův důkaz má malou důležitost ve skutečné praxi. Avšak anglický matematický fyzik Dr. Roger Penros poukázal na to, že ještě jiný teorém, Goodsteinův teorém, je vlastně Gödelův teorém, který demonstruje omezení matematické indukce v prokazování zaručených matematických pravdivostí. Matematická indukce je čistě deduktivní metoda, která může být velmi užitečná v prokazování nekonečných řad případů s konečným počtem deduktivních kroků.
Neodmyslitelné hranice formálních deduktivních metod
Za Gödelovým úsilím byla hlubší motivace jdoucí za záležitosti Principů matematiky a jiných praktičtějších formálních metod. Jako jiní velcí matematici a logici jeho doby chtěl mít Gödel lepší porozumění základních otázek týkajících se matematiky a logiky: co je matematická pravdivost a co to znamená dokázat ji? Tyto otázky stále zůstávají do značné míry nevyřešené. Část odpovědí přichází se zjištěním, že některé pravdivostní výroky v matematickém systému nemohou být dokázány formálními deduktivními metodami. Důležité odhalení Gödelova úspěchu indikuje, že pojem důkaz je slabší než pojem pravda.
Gödelův důkaz, zdá se, demonstruje, že lidská mysl může porozumět určitým pravdám, které axiomatický formální sytém nikdy nemůže prokázat. Na základě tohoto někteří vědci a filosofové tvrdí, že lidská mysl nikdy nemůže být plně mechanizována.
Ačkoliv Gödelův teorém neúplnosti není dobře znám veřejnosti, je na něj filosofy a vědci pohlíženo jako na jeden z největších objevů moderní doby. Skutečná důležitost Gödelovy práce byla uznána mnoho let po své publikaci, jako je to zmíněno v Gödelově theorému: „Gödel byl nakonec uznán svými kolegy a obdržel v roce 1951 Ocenění Alberta Einsteina za úspěch v přírodních vědách - největší poctu svého druhu ve Spojených státech. Porota, která zahrnovala Alberta Einsteina a J. Roberta Oppenheimera, popsala jeho práci jako ‚jeden z největších příspěvků vědám v nedávné době'."
Související články:
